Des mathématiques en argumentaire

Lectures :2355

Quelques principes de logique classique appliqués à l’argumentation.

J’ai souvent remarqué que les discussions et argumentations pêchaient souvent dans la logique dont elles prétendaient s’enrober. Il est vrai qu’à l’heure de l’image et de l’immédiateté, le cumul des sophismes nécessite souvent trop de temps pour être démonté, et d’aucun préférera en user abondamment sans risque pour convaincre rapidement et faire son effet.

Les mathématiques peuvent nous aider, avec leurs outils de logiques classique, à démêler les argumentations bancales. Voici quelques principes de base à connaître.

L’implication.

L’implication décrit un connecteur logique entre deux propositions. Si A=>B alors si j’ai A, j’aurai B. On dit que A est suffisant pour obtenir B. On dira aussi que B est nécessaire pour obtenir A.

Exemple: je vois le soleil, donc il fait jour. Il suffit de voir le soleil pour savoir qu’il fait jour, il est nécessaire qu’il fasse jour pour espérer voir le soleil.

Les propriétés intéressantes de l’implication sont les suivantes:

  • la transitivité. si A=>B et B=>C  alors A=>C
  • la contraposée: si je n’ai pas B alors je n’ai pas A ( nonB=>nonA)  (on y reviendra)

L’équivalence

Dans les discours, l’équivalence est souvent sous-entendue en montrant une implication. Parfois aussi, les contradicteurs essaieront de démonter une implication en signifiant que l’équivalence est fausse[1]. Autant démontrer que 2+2 font 4 pour réfuter l’argumentaire de l’adversaire!

Une équivalence c’est une implication qui fonctionne dans les deux sens.

Ainsi on a A=>B et B=>A  qu’on notera A<=>B. On dira alors que A est une condition nécessaire et suffisante pour obtenir B et que B est nécessaire et suffisant pour obtenir A. En rhétorique, il est très difficile d’avoir des équivalences.  C’est d’ailleurs sur cette confusion que les sophismes par affirmation conséquente procèdent.

Si j’ai la grippe, alors j’ai mal à la gorge.
J’ai mal à la gorge.
Donc j’ai la grippe.

le si n’est pas suffisant pour obtenir une équivalence, au contraire d’une simple implication, il faut utiliser la terminologie: si et seulement si.

La contraposée n’est pas la négation de l’implication

La plupart de nos super héros du net confondent joyeusement négation d’une implication et contraposée. Exemple d’implication fausse: je ne vois pas le soleil, donc il fait nuit. C’est le contraire de l’implication: je vois le soleil donc il fait jour. Comme vous pouvez le constater, cette négation n’est pas forcément exacte (le soleil peut être caché par les nuages par exemple). Ainsi, le contraire d’une implication n’est pas forcément vrai.

La contraposée est par contre, toujours vraie, c’est une loi mathématique qui caractérise l’implication. Ainsi, s’il ne fait pas jour, je ne peux voir le soleil.

Cette confusion est soigneusement entretenue dans les esprits pour avancer (ou contrer) des arguments dans les discussions.

La fameuse démonstration par l’absurde.

Mathématiquement, c’est un raisonnement imparable très utilisé, car pratique pour démontrer la validité de certains théorèmes. On supposera la proposition vraie et il sera démontré que cette proposition impliquera une autre totalement fausse, ou une contradiction logique. Par le principe de la contraposée, on pourra donc démontrer que la proposition initiale est  fausse.

D’un point de vue rhétorique, c’est plus délicat. D’abord parce qu’il faut être certain qu’il n’existe que deux propositions  contradictoires possibles. Ensuite parce que, pour l’esprit, la démonstration sera toujours moins éclairante qu’une preuve directe. L’apagogie[2] n’est donc utilisée que pour les contradicteurs ou les doctrines refusant les preuves directes.

Ce qui est rare est cher. Un cheval bon marché est rare. Un cheval bon marché est donc cher.

Le raisonnement par l’absurde  démonte la première proposition « ce qui est rare est cher » en amenant cette contradiction. Un cheval bon marché serait cher (contradiction). Donc la proposition initiale: ce qui est rare est cher est fausse.

Ces petits rappels de base vous aideront, je l’espère, à mieux décrypter les rouages de quelques beaux discoureurs, sur Internet et ailleurs…

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[1] C’est très courant, regardez les commentaires sur internet.

[2] Démonstration par l’absurde en philosophie

9 comments to Des mathématiques en argumentaire

  • D. Furtif

    Bonjour Lapa
    Très amusant et combien vrai
    Voyons si j’ai bien compris

    .
    Le furtif mange dans mon assiette ➡ c’est un pique assiette
    Le furtif est pique assiette ➡ il boit des coups partout
    Le furtif invite à sa table ➡ C’est un pique assiette
    Il n’est pas près de renouveler l’invitation ➡ c’est quand même un pique assiette
    .
    Un athée républicain est un raciste islamophobe anti arabe
    Un arabe athée est un extrémiste ultra laïc islamophobe
    Une femme arabe républicaine laïque est une extrémiste qui ferait mieux de rentrer à la maison au lieu de troubler la paix sociale
    Une dizaine de lycéennes égorgées est une parfaite illustration de la paix sociale vue par les quantiques

    • COLRE

      Furtif, je te propose encore qques énoncés de nos penseurs rhétoriciens de la mosquée d’à côté et autres maisons mabouls et tenants de la haine positive :

      – Un arabe athée n’est pas un arabe islamiste, or, un athée n’est pas islamiste, donc un arabe n’est pas un arabe.

      – Une arabe athée n’est pas islamophile. Or, une arabe n’est pas islamophobe. Donc, une arabe athée n’est pas une femme.

      – Un républicain athée n’est pas islamophile. Or, un républicain n’est pas islamophobe, donc un républicain n’est pas athée.

  • snoopy86

    Moi ce que j’en retiens c’est qu’au Bon Marché on trouve des chevaux pas chers ..

  • COLRE

    Bravo Lapa, d’autant que les mathématiques nécessitent des neurones déliés et plutôt jeunes… 😉
    Moi-même qui ai eu un diplôme de math dans mon jeune temps, il me faut parfois faire des efforts intellectuels pour formaliser des liens logiques !

    Ah, c’est pas beau de vieillir… 😉 😉

    C’est vrai que le fameux syllogisme (cheval bon marché) peut relever d’une démonstration par l’absurde. La démonstration par l’absurde est un raisonnement mathématique qui m’avait marquée à l’école, moi qui adorait la géométrie. « L’absurde »… c’est quand même un passionnant concept quand on apprend la rationalité, non ?

    Je me rappelle qu’il y avait plusieurs sortes de procédés pour démontrer un énoncé, mais que la démonstration « par l’absurde » était toujours la plus simple et la plus élégante.

    Moi je le formulerais ton exemple comme ça :
    Imaginons que la proposition « ce qui est rare est cher » soit vraie, alors, « tout ce qui est rare est cher ». Or, un cheval bon marché est rare, et un cheval ne peut pas être à la fois bon marché et cher : absurde.
    Donc, comme tu le dis : « la proposition initiale : ce qui est rare est cher est fausse ».

    • Lapa

      Oui COLRE de mes années de sup et spé j’ai le souvenir d’avoir toujours favorisé la démonstration par l’absurde, car aussi c’était la plus simple et la plus rapide: bref la plus facile. Un véritable outil de fainéant qui évitait souvent d’ecrire des pages de démonstrations faisant appel à de nombreux théorèmes et autres lois.

  • Buster

    Démontrer des problèmes mathématiques par l’absurde !
    Ouf.
    J’ai toujours su que j’étais un grand mathématicien qu’on ignorait.
    La médaille Fields me tend les bras. (qu’elle a délicats, mais un peu potelés)

  • docdory

    @ Lapa
    Un des arguments le plus souvent utilisé en politique ou sur des forums est le fameux paralogisme du shadok : Tous les chats sont mortels, Socrate est mortel donc Socrate est un chat !
    Une utilisation intensive de ce paralogisme est assez caractéristique du genre d’arguments utilisés par Morice pour fustiger ses contradicteurs . Un exemple typique : tous les fachos sont islamophobes, vous êtes islamophobe donc vous êtes un facho !
    Les deux  » raisonnements  » sont rigoureusement équivalents !