Les logarithmes et les ressentis.

Tous les lycéens savent que derrière ce mot barbare se cache une astuce mathématique. Pour faire simple, les logarithmes permettent de remplacer une multiplication par une addition, et une division par une soustraction.
On les doit à John Napier ou Neper qui avait à réaliser de nombreux calculs et qui fit la remarque suivante :

si on multiplie m fois par lui même un nombre positif a, on obtient un nombre X= a puissance m. De même, n multiplications successives donnent Y=a puissance n, donc multiplier X par Y revient à multiplier (m+n) fois le nombre a par lui même, d’où :

X*Y= a puissance m+n. Dans cette égalité, l’opération du terme gauche est une multiplication et celle du terme de droite une addition. Pour multiplier deux nombres il suffit donc de connaître :

• les exposants m et n qui leurs correspondent appelés leurs logarithmes de base a par Napier
• de les additionner pour obtenir le nombre p=m+n
• et de rechercher le nombre Z dont le logarithme est le résultat p de cette addition

À  l’aide de tables, calculées une fois pour toutes, donnant la correspondance entre tout nombre X et son logarithme m, cette série d’opérations est des plus simples et des plus rapides. Imaginez-vous avoir à multiplier 943 721 644 par 659 325 639….  au delà du temps que cela va vous prendre, une feuille format A4  ne sera pas suffisante et le risque de commettre des erreurs est grand : c’est là où les logarithmes rentrent en jeu et simplifient le calcul.

De la même façon la division X par Y s’écrit X/Y=a puissance m-n  : il faut donc pour diviser,  soustraire le log du dénominateur au log du numérateur.

Admettons que la base choisie soit a=10, le log de 10 est donc 1, celui de 100 est 2, celui d’un million est 6 etc… Plus grand est le nombre, plus grand est son log mais sa progression est beaucoup plus lente : lorsque le nombre est multiplié par 10 son log n’augmente que d’une unité.Le log de 1 est 0, quand aux nombres inférieurs à 1 leur log est négatif, ainsi log(0.1) =log (1/10)=0-1= -1, le log(0.0001)= -4 etc…

Plus le nombre est petit est plus son log a une valeur négative élevée, mais ne peut jamais atteindre le nombre 0, il est donc classique d’admettre que le log de 0 est moins l’infini. Sauf que  la notion d’infini recèle bien des ambiguïtés, il y a, en effet, une infinité d’infinis autres que la suite infinie des nombres entiers : mieux vaut donc dire qu’il n’y a pas de log de 0.

La correspondance entre un nombre positif et son logarithme nous montre que connaître l’un permet de connaître l’autre. La différence essentielle est leur domaine de variation, pour le nombre, ce domaine a pour limite inférieure 0 et n’a pas de limite supérieure. Pour le logarithme, il n’y a ni limite inférieure ni limite supérieure : passer d’un nombre positif  à son logarithme ou réciproquement permet de modifier les limites du domaine exploré et de résoudre, parfois, ce qui semble être un paradoxe.

Par le passé, les pauvres lycéens utilisaient les tables de log, sources de pleurs, de cris et de lamentations alors que maintenant les calculettes donnent instantanément les résultats des calculs les plus complexes : le concept de logarithme est passé de mode. Tant mieux pour nos p’tits jeunes mais dommage aussi, car ce concept peut être l’occasion de réflexions utiles allant bien au delà d’une astuce mathématique. Des domaines aussi éloignés des mathématiques, en l’occurence des logarithmes, que sont la psychologie ou la philosophie peuvent bénéficier de leurs apports en aidant à poser et à réfléchir autrement à quelques problèmes.

Dans son excellent livre de vulgarisation  « La science à l’usage des non-scientifiques » , Albert Jacquard montre quelques applications intéressantes :

Les notions de  température absolue et de  big bang :

Personnellement, lorsque j’ai appris que la température d’un objet ne pouvait pas descendre en dessous de -273 degrés centigrades je n’ai été immédiatement interpellé mais, quelque temps plus tard, j’ai supposé qu’avec des moyens techniques plus pointus on pourrait dépasser cette limite infranchissable. Pourquoi ne pas trouver -274 ou -275 degrés, voire plus ou moins ?…. Impossible, et pour clore le sujet on remplace la mesure en degrés  par la température absolue T, dont le 0 correspond au -273. Circulez…y’a rien à voir, ni à comprendre, puisque « on » vous dit que c’est comme ça. Cette température absolue ne peut donc être négative, et ce n’est pas le recours au terme « absolu » qui supprime la difficulté. En fait, la question est mal posée : il suffit de rétablir la température comme étant le logarithme de T pour que sa plage de variation soit sans limite, et à mesure que l’on se rapproche de 0 ce log devient de plus en plus grand en valeur absolue. Ainsi la tentation d’imaginer un au-delà du 0 s’envole… Magique, non ?…

De la même manière, un changement de l’échelle de mesure de la durée permet d’échapper au paradoxe de l’avant big bang. Le constat de l’expansion actuelle de l’univers conduit à l’hypothèse que cette expansion était hier plus petite  qu’aujourd’hui, avant-hier plus petite qu’hier, et  il y a quelques milliards d’année d’une dimension nulle et d’une densité infinie. Cette façon de poser ainsi l’origine du cosmos incite à poser la question : « qu’y avait-il avant ? » Cette question ne serait pas posé si l’âge de l’univers n’était pas mesuré par la durée D écoulée depuis son origine mais par son logarithme : le passé serait repoussé vers un passé infiniment lointain !… Cette façon de voir est assez cohérente avec le discours des astrophysiciens lorsqu’ils décrivent les premiers instants du cosmos : assez facilement ils nous fournissent des informations sur les premières minutes, mais il leur faut bien des efforts pour décrire les premières secondes, puis les premières millisecondes, puis les nanosecondes.  Leur progression est vraiment logarithmique, et il exclu qu’il atteignent un jour l’instant zéro. En mesurant le temps par le logarithme de D, cet instant est reporté à l’infini dans le passé, et il n’a pas, dans notre représentation de la succession des événements  d’existence réelle… et les instants précédents encore moins.

Tout aussi intéressante,  la perception de notre propre temps :

La perception de la durée écoulée  que nous avons est différente de ce que mesurent les horloges. Si on laisse de côté la lenteur du temps dans les moments pénibles et sa rapidité dans les moments de plaisirs ou de bonheur, tout le monde s’accordera que l’effet de l’âge est particulièrement évident sur la perception de la durée. À mesure que l’âge avance, le temps semble s’accélérer. Cette impression est  un cas de la loi bien connue des psychologues : la sensation perçue varie proportionnellement non à la variation de l’excitation mais au rapport de celle-ci à l’excitation initiale. Il suffit d’admettre que notre conscience compare chaque nouvelle durée écoulée à la totalité déjà vécue. Ainsi l’enfant qui passe de 10 à 11 ans et l’adulte de 50 à 55 ans rajoutent 10% au parcours déjà effectué: les durées mesurées sur le calendriers, un an dans un cas, cinq dans l’autre sont différentes mais la durée perçue leur a semblé également longue, il est donc pertinent de prendre pour mesure , pour caractériser le sensation d’écoulement du temps, non l’âge lui-même mais son logarithme.

Et là, surprise : pour quelqu’un dont la durée de vie est cent ans, la moitié de la durée ressentie s’est déjà écoulée à dix ans : en effet, le logarithme de dix est 1, celui de cent 2 !… Mais si pour être plus réaliste dans cette description du déroulement de la durée telle qu’elle est ressentie, si on prend pour origine, non la naissance mais la conception, la durée de la gestation, l’enfant a à sa naissance   l’age « 1 » dont le log est 0, il atteint l’âge « 10 » (log= 1)  quatre-vingt-dix mois après sa conception, soit un peu avant sept ans, et l’âge « 100 » (log=2) à soixante- quatorze ans !…

Si vous connaissez, ou trouvez d’autres cas comme ceux décrit, ne vous gênez surtout pas.